Ιndécidabilité des invariants géοmétriques dans les pavages
Undecidability of geometric invariants in tilings
Résumé
This thesis is devoted to the study of subshifts, and in particular their computational properties. A subshift is defined by a finite set of symbols, a set of rules specifying authorized and forbidden arrangements of these symbols, and an ambient space that we try to tile: a valid configuration is then an arrangement of these symbols, covering the entire space and respecting all the rules. A subshift is then defined as the set of all the valid configurations. In the simplest case, the rules are adjacency rules, which prevent some symbols from being placed next to one another. However, even in this restricted setting, tilings of Z^d for d > 1 can be surprinsingly complicated, in several ways studied in this thesis.The thesis is divided in three independent chapters, with a preliminary chapter introducing all the relevant background knowledge for the various objects being considered. In a first chapter, we study the extender entropy of Z^d subshifts, a real number which quantifies for any subshift the number of patterns that can freely be exchanged in all the valid configurations. We show that the possible values of extender entropies are fully characterized by computability restrictions, more precisely, they correspond exactly to levels in the arithmetical hierarchy of real numbers, the precise level depending on the specific class of subshifts being considered. In a second chapter, we study the Projective Fundamental Group of Z^2-subshifts, a group which aims at classifying the various kinds of obstructions encountered when trying to extend a partial configuration to a complete, valid configuration of the subshift. We show that even subshifts of finite type can have as fundamental group any finitely presented group. Finally, we study in a third chapter a kind of substitutive subshift defined on graphs. We propose a definition of substitutive graph, as well as substitutive graph subshift, and show that an important class of these subshifts can be obtained using only finitely many local rules. This partially generalizes a classical result from Mozes, in a more combinatorial but less geometrical setting.
Cette thèse est consacrée à l'étude des sous-décalages, et en particulier leurs propriétés calculatoires. De façon générale, un sous-décalage est défini par un ensemble fini de symboles, un ensemble de règles spécifiant les agencements valides et invalides de ces symboles, et un espace ambiant que l'on cherche à paver: une configuration valide consiste alors en un agencement de ces symboles couvrant l'espace entier et respectant toutes les contraintes. Le sous-décalage est alors défini comme l'ensemble de toutes les configurations valides. Dans le cas le plus simple, ces règles interdisent simplement à certains symboles d'être placés côte-à-côte, et sont donc en nombre fini. Cependant, même dans ce cas restreint, les pavages de Z^d pour d > 1 sont étonnament complexes, cette complexité se manifestant sous plusieurs aspects étudiés dans cette thèse.Cette thèse est divisée en trois chapitres essentiellement indépendants, précédés d'une introduction générale aux différents objets étudiés. Dans un premier temps, nous étudierons l'entropie d'extension des pavages de Z^d, un nombre réel associé à un sous-décalage qui quantifie le nombre de motifs qui peuvent être librement interchangés dans n'importe quelle configuration valide. Nous montrerons que les entropies d'extension possibles sont caractérisées par des restrictions calculatoires, et correspondent exactement à des niveaux de la hiérarchie arithmétique, le niveau exact dépendant de la classe de sous-décalages considérée. Dans un second chapitre, nous nous intéresserons au Groupe Fondamental Projectif des pavages du plan Z^2. Il s'agit d'un groupe associé à certains sous-décalages, qui permet de classifier les obstructions possibles qu'ont certaines configurations partielles ne pouvant être étendues en configurations valides sur tout l'espace. Nous montrerons là aussi que des classes simples de pavages, notamment les sous-décalages de type fini, peuvent exhiber un comportement complexe, et en particulier peuvent avoir comme groupe fondamental n'importe quel groupe finiment présenté. Enfin, nous étudierons dans un troisième chapitre les sous-décalages substitutifs, dans le contexte particulier des graphes. Nous proposerons une définition de graphe substitutif, et de sous-décalage substitutif défini sur ces graphes, et montrerons qu'une large classe de ces sous-décalages peuvent être obtenus à l'aide d'un nombre fini de règles locales. Ce résultat généralise partiellement un résultat classique de Mozes, dans un cadre plus combinatoire et moins géométrique.
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